Trong trường hợp tổng quát, ta xét các ma trận hệ số A và ma trận hệ số bổ sung thêm cột các số hạng ở vế phải A' .

A = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k ⋅ ⋅ ⋯ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}\\\cdot &\cdot &\cdots &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}\end{bmatrix}}} ; A ′ = [ a 1 , 1 a 1 , 2 ⋯ a 1 , k b 1 a 2 , 1 a 2 , 2 ⋯ a 2 , k b 2 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ a n , 1 a n , 2 ⋯ a n , k b n ] {\displaystyle A'={\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,k}&b_{1}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,k}&b_{2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,k}&b_{n}\end{bmatrix}}}

Khi đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi hạng của hai ma trận này bằng nhau.

r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r} .

Chi tiết hơn ta có:

1. Nếu r = r a n ( A ) < r a n ( A ′ ) {\displaystyle r=ran(A)<ran(A')} thì hệ vô nghiệm
2. Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r} hệ có nghiệm và
   1. Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r = k {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r=k} hệ có nghiệm duy nhất
   2. Nếu r a n ( A ) = r a n ( A ′ ) = r < k {\displaystyle ran(A)=ran(A')=r<k} hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào k-r ẩn tự do.

(không xảy ra trường hợp r = r a n ( A ) > r a n ( A ′ ) {\displaystyle r=ran(A)>ran(A')} hay r = r a n ( A ) > n {\displaystyle r=ran(A)>n} )

• Ví dụ:
  • Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = − 2 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&-2\\\end{matrix}}\right.} có nghiệm duy nhất { x = 1 y = 1 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&1\\y&=&1\\\end{matrix}}\right.} ;

• • Hệ

{ x + y + 2 z = 3 y − z = 5 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&+&2z&=&3\\\;&\;&y&-&z&=&5\\\end{matrix}}\right.} có vô số nghiệm phụ thuộc một ẩn tự do z: { x = − 2 − 3 z y = 5 + z z ∈ R {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&-2&-&3z\\y&=&5&+&z\\z&\in &\mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.}

• • Hệ

{ x + y = 2 x − y = 0 x − 3 y = 3 {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&+&y&=&2\\x&-&y&=&0\\x&-&3y&=&3\\\end{matrix}}\right.} vô nghiệm.